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小町算
絶世の美女といわれる小野小町は、彼女に恋した深草の中将に、自分の元に100夜通ってくれれば結婚しようと約束しました。深草の中将は99夜通いましたが、あと一夜というところで急死したと伝えられています。この話を元に、後に小野小町は深草の中将を思い出すたびに１から９までの数字を使って100を作る計算を考えた、という話が作られ、この計算も「小町算」と名付けられました。日本以外では、100を作るということから「世紀パズル」と呼ばれています。
この小町算のルールはいろいろあります。１から９までの数字の間に演算記号をいれて100を作るのが基本ルールですが、＋と−だけを使うもの、×と÷も許すもの、頭の１に−を許すもの、等々。逆順(９から１)や作る数字が100以外のものもあります。ここでは、＋,−,×,÷を全て使い、頭の１にも−を許すことにします。以後の結果は自作のパソコン用プログラムによります。この手のプログラムは簡単ですから、興味のある方は自作してみたら如何でしょうか。
では100を作ってみましょう。162通りありました。
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８×９
１＋２＋３−４＋５＋６＋７８＋９
１＋２＋３−４×５＋６×７＋８×９
１＋２＋３−４５＋６７＋８×９
１＋２＋３×４−５−６＋７＋８９
１＋２＋３×４×５÷６＋７８＋９
１＋２＋３×４×５６÷７−８＋９
１＋２＋３４−５＋６７−８＋９
１＋２＋３４×５＋６−７−８×９
１＋２−３×４＋５×６＋７＋８×９
１＋２−３×４−５＋６×７＋８×９
１＋２×３＋４＋５＋６７＋８＋９
１＋２×３＋４×５−６＋７＋８×９
１＋２×３−４＋５６÷７＋８９
１＋２×３−４−５＋６＋７＋８９
１＋２×３×４×５÷６＋７＋８×９
１＋２×３４−５６＋７８＋９
１＋２３−４＋５＋６＋７８−９
１＋２３−４＋５６＋７＋８＋９
１＋２３−４＋５６÷７＋８×９
１＋２３−４−５＋６＋７＋８×９
１＋２３×４＋５−６＋７−８＋９
１＋２３×４＋５６÷７＋８−９
１＋２３×４−５＋６＋７＋８−９
１＋２３４−５６−７−８×９
１＋２３４×５×６÷７８＋９
１＋２３４×５÷６−７−８９
１−２＋３＋４５＋６＋７×８−９
１−２＋３×４＋５＋６７＋８＋９
１−２＋３×４×５＋６×７＋８−９
１−２＋３×４×５−６＋７×８−９
１−２−３＋４×５＋６７＋８＋９
１−２−３＋４×５６÷７＋８×９
１−２−３＋４５＋６×７＋８＋９
１−２−３＋４５−６＋７×８＋９
１−２−３＋４５−６−７＋８×９
１−２−３４＋５６＋７＋８×９
１−２×３＋４×５＋６＋７＋８×９
１−２×３−４＋５×６＋７＋８×９
１−２×３−４−５＋６×７＋８×９
１−２３＋４×５＋６＋７＋８９
１−２３−４＋５×６＋７＋８９
１−２３−４−５＋６×７＋８９
１×２＋３＋４×５＋６＋７８−９
１×２＋３＋４５＋６７−８−９
１×２＋３−４＋５×６＋７８−９
１×２＋３×４＋５−６＋７８＋９
１×２＋３４＋５＋６×７＋８＋９
１×２＋３４＋５−６＋７×８＋９
１×２＋３４＋５−６−７＋８×９
１×２＋３４＋５６＋７−８＋９
１×２＋３４−５６÷７＋８×９
１×２−３＋４＋５６÷７＋８９
１×２−３＋４−５＋６＋７＋８９
１×２−３＋４×５−６＋７８＋９
１×２×３＋４＋５＋６＋７＋８×９
１×２×３−４＋５＋６＋７８＋９
１×２×３−４×５＋６×７＋８×９
１×２×３−４５＋６７＋８×９
１×２×３×４＋５＋６＋７×８＋９
１×２×３×４＋５＋６−７＋８×９
１×２×３×４−５−６＋７８＋９
１×２×３４＋５６−７−８−９
１×２÷３＋４×５÷６＋７＋８９
１×２３＋４＋５＋６７−８＋９
１×２３＋４＋５６÷７×８＋９
１×２３−４＋５−６−７＋８９
１×２３−４−５６÷７＋８９
１×２３×４−５６÷７÷８＋９
１×２３４＋５−６７−８×９
１÷２×３÷４×５６＋７＋８×９
１÷２×３４−５＋６−７＋８９
１÷２÷３×４５６＋７＋８＋９
１２＋３＋４＋５−６−７＋８９
１２＋３＋４−５６÷７＋８９
１２＋３−４＋５＋６７＋８＋９
１２＋３×４＋５＋６＋７×８＋９
１２＋３×４＋５＋６−７＋８×９
１２＋３×４−５−６＋７８＋９
１２＋３×４５＋６×７−８９
１２＋３４＋５×６＋７＋８＋９
１２＋３４−５＋６×７＋８＋９
１２＋３４−５−６＋７×８＋９
１２＋３４−５−６−７＋８×９
１２−３＋４×５＋６＋７×８＋９
１２−３＋４×５＋６−７＋８×９
１２−３−４＋５−６＋７＋８９
１２−３−４＋５×６＋７×８＋９
１２−３−４＋５×６−７＋８×９
１２×３−４＋５−６＋７８−９
１２×３−４−５−６＋７＋８×９
１２×３−４×５＋６７＋８＋９
１２÷３＋４×５−６−７＋８９
１２÷３＋４×５×６−７−８−９
１２÷３＋４×５×６×７÷８−９
１２÷３÷４＋５×６＋７８−９
１２３＋４−５＋６７−８９
１２３＋４×５−６×７＋８−９
１２３＋４５−６７＋８−９
１２３−４−５−６−７＋８−９
１２３−４５−６７＋８９
−１＋２＋３＋４×５−６−７＋８９
−１＋２＋３＋４×５×６−７−８−９
−１＋２＋３＋４×５×６×７÷８−９
−１＋２＋３４×５−６＋７−８×９
−１＋２＋３４×５−６−７×８−９
−１＋２−３＋４＋５＋６＋７８＋９
−１＋２×３＋４×５＋６＋７８−９
−１＋２×３＋４５＋６７−８−９
−１＋２×３−４＋５×６＋７８−９
−１＋２×３×４＋５×６＋７×８−９
−１＋２×３÷４×５６÷７＋８９
−１＋２÷３×４５＋６＋７×８＋９
−１＋２÷３×４５＋６−７＋８×９
−１＋２÷３×４５×６−７−８×９
−１＋２÷３×４５÷６＋７＋８９
−１＋２÷３÷４×５×６＋７＋８９
−１＋２３＋４＋５÷６×７８＋９
−１＋２３×４＋５−６−７＋８＋９
−１＋２３×４＋５６−７×８＋９
−１＋２３×４＋５６÷７−８＋９
−１＋２３×４＋５６÷７÷８×９
−１＋２３×４−５＋６＋７−８＋９
−１＋２３×４−５６＋７×８＋９
−１＋２３×４−５６−７＋８×９
−１＋２３×４−５６÷７＋８＋９
−１＋２３×４×５６÷７÷８＋９
−１＋２３×４÷５６×７×８＋９
−１−２＋３×４×５＋６×７−８＋９
−１−２×３＋４＋５６＋７×８−９
−１−２×３×４＋５６＋７８−９
−１−２÷３×４５＋６×７＋８９
−１−２３×４＋５×６×７−８−９
−１×２＋３＋４＋５−６＋７＋８９
−１×２＋３＋４＋５×６＋７×８＋９
−１×２＋３＋４＋５×６−７＋８×９
−１×２＋３−４＋５６＋７×８−９
−１×２＋３×４＋５＋６＋７＋８×９
−１×２＋３４＋５−６＋７８−９
−１×２＋３４−５−６＋７＋８×９
−１×２＋３４×５−６７＋８−９
−１×２−３＋４×５＋６＋７＋８×９
−１×２−３−４＋５×６＋７＋８×９
−１×２−３−４−５＋６×７＋８×９
−１×２−３４＋５＋６×７＋８９
−１×２３＋４＋５＋６×７＋８×９
−１×２３４＋５×６７＋８−９
−１÷２−３＋４５÷６＋７＋８９
−１÷２×３４＋５×６＋７８＋９
−１２＋３×４×５＋６×７８÷９
−１２＋３４＋５−６＋７＋８×９
−１２−３−４＋５＋６×７＋８×９
−１２×３−４×５＋６７＋８９
−１２×３÷４＋５×６＋７＋８×９
−１２×３÷４−５＋６×７＋８×９
−１２÷３＋４×５＋６７＋８＋９
−１２÷３＋４×５６÷７＋８×９
−１２÷３＋４５＋６×７＋８＋９
−１２÷３＋４５−６＋７×８＋９
−１２÷３＋４５−６−７＋８×９
−１２３＋４５×６−７×８＋９
−１２３−４＋５×６×７＋８＋９
ついでに99を作って見たのが以下の結果です。
99になるパターン(178通り)
１＋２＋３＋４＋５＋６７＋８＋９
１＋２＋３＋４×５−６＋７＋８×９
１＋２＋３−４＋５６÷７＋８９
１＋２＋３−４−５＋６＋７＋８９
１＋２＋３４＋５６＋７＋８−９
１＋２−３＋４＋５−６＋７＋８９
１＋２−３＋４＋５×６＋７×８＋９
１＋２−３＋４＋５×６−７＋８×９
１＋２−３−４＋５６＋７×８−９
１＋２−３×４×５＋６７＋８９
１＋２×３＋４−５＋６＋７８＋９
１＋２×３＋４５−６×７＋８９
１＋２×３×４＋５÷６×７８＋９
１＋２×３×４×５＋６７−８９
１＋２×３４＋５＋６×７−８−９
１＋２÷３×４５＋６７−８＋９
１＋２÷３×４５×６＋７−８９
１＋２３＋４＋５＋６７＋８−９
１＋２３＋４−５−６−７＋８９
１＋２３＋４５＋６＋７＋８＋９
１＋２３＋４５−６×７＋８×９
１＋２３−４−５＋６７＋８＋９
１＋２３×４＋５×６−７−８−９
１＋２３４−５−６×７−８９
１−２＋３＋４＋５＋６−７＋８９
１−２＋３＋４５＋６×７８÷９
１−２＋３×４−５＋６＋７８＋９
１−２＋３４＋５６−７＋８＋９
１−２＋３４−５＋６＋７×８＋９
１−２＋３４−５＋６−７＋８×９
１−２＋３４−５×６＋７＋８９
１−２−３＋４＋５×６＋７８−９
１−２−３−４＋５＋６＋７＋８９
１−２−３×４＋５×６−７＋８９
１−２−３４−５＋６７＋８×９
１−２×３＋４×５＋６７＋８＋９
１−２×３＋４×５６÷７＋８×９
１−２×３＋４５＋６×７＋８＋９
１−２×３＋４５−６＋７×８＋９
１−２×３＋４５−６−７＋８×９
１−２３＋４＋５×６＋７８＋９
１−２３＋４×５６÷７＋８９
１−２３＋４５−６−７＋８９
１−２３−４＋５６＋７８−９
１−２３４＋５＋６×７×８−９
１×２＋３＋４＋５＋６＋７＋８×９
１×２＋３−４＋５＋６＋７８＋９
１×２＋３−４×５＋６×７＋８×９
１×２＋３−４５＋６７＋８×９
１×２＋３×４−５−６＋７＋８９
１×２＋３×４×５÷６＋７８＋９
１×２＋３×４×５６÷７−８＋９
１×２＋３４−５＋６７−８＋９
１×２＋３４×５＋６−７−８×９
１×２−３×４＋５×６＋７＋８×９
１×２−３×４−５＋６×７＋８×９
１×２×３＋４＋５＋６７＋８＋９
１×２×３＋４×５−６＋７＋８×９
１×２×３−４＋５６÷７＋８９
１×２×３−４−５＋６＋７＋８９
１×２×３×４×５÷６＋７＋８×９
１×２×３４−５６＋７８＋９
１×２３−４＋５＋６＋７８−９
１×２３−４＋５６＋７＋８＋９
１×２３−４＋５６÷７＋８×９
１×２３−４−５＋６＋７＋８×９
１×２３×４＋５−６＋７−８＋９
１×２３×４＋５６÷７＋８−９
１×２３×４−５＋６＋７＋８−９
１×２３４−５６−７−８×９
１×２３４×５×６÷７８＋９
１×２３４×５÷６−７−８９
１÷２×３×４＋５＋６−７＋８９
１÷２×３４×５＋６＋７−８＋９
１÷２÷３＋４＋５÷６×７＋８９
１÷２÷３×４×５×６＋７＋８×９
１２＋３＋４＋５＋６＋７８−９
１２＋３＋４＋５６＋７＋８＋９
１２＋３＋４＋５６÷７＋８×９
１２＋３＋４−５＋６＋７＋８×９
１２＋３−４−５＋６＋７８＋９
１２＋３×４×５÷６×７＋８＋９
１２−３＋４＋５−６＋７８＋９
１２−３×４＋５×６＋７８−９
１２−３４＋５×６×７−８９
１２−３４＋５６＋７×８＋９
１２−３４＋５６−７＋８×９
１２×３＋４×５＋６×７−８＋９
１２×３＋４５−６＋７＋８＋９
１２×３×４＋５−６７＋８＋９
１２×３÷４＋５＋６＋７＋８×９
１２÷３＋４×５＋６＋７８−９
１２÷３＋４５＋６７−８−９
１２÷３−４＋５×６＋７８−９
１２÷３×４−５＋６−７＋８９
１２÷３×４５＋６−７８−９
１２÷３×４５÷６＋７８−９
１２÷３÷４＋５＋６＋７８＋９
１２÷３÷４×５×６＋７８−９
１２３−４＋５−６×７＋８＋９
１２３−４−５×６−７＋８＋９
１２３−４×５＋６＋７−８−９
１２３−４×５×６＋７＋８９
１２３×４−５６×７＋８−９
−１＋２＋３＋４×５＋６＋７８−９
−１＋２＋３＋４５＋６７−８−９
−１＋２＋３−４＋５×６＋７８−９
−１＋２＋３×４＋５−６＋７８＋９
−１＋２＋３４＋５＋６×７＋８＋９
−１＋２＋３４＋５−６＋７×８＋９
−１＋２＋３４＋５−６−７＋８×９
−１＋２＋３４＋５６＋７−８＋９
−１＋２＋３４−５６÷７＋８×９
−１＋２−３＋４＋５６÷７＋８９
−１＋２−３＋４−５＋６＋７＋８９
−１＋２−３＋４×５−６＋７８＋９
−１＋２×３＋４＋５＋６＋７＋８×９
−１＋２×３−４＋５＋６＋７８＋９
−１＋２×３−４×５＋６×７＋８×９
−１＋２×３−４５＋６７＋８×９
−１＋２×３×４＋５＋６＋７×８＋９
−１＋２×３×４＋５＋６−７＋８×９
−１＋２×３×４−５−６＋７８＋９
−１＋２×３４＋５６−７−８−９
−１＋２÷３＋４×５÷６＋７＋８９
−１＋２３＋４＋５＋６７−８＋９
−１＋２３＋４＋５６÷７×８＋９
−１＋２３−４＋５−６−７＋８９
−１＋２３−４−５６÷７＋８９
−１＋２３×４−５６÷７÷８＋９
−１＋２３４＋５−６７−８×９
−１−２＋３＋４＋５−６＋７＋８９
−１−２＋３＋４＋５×６＋７×８＋９
−１−２＋３＋４＋５×６−７＋８×９
−１−２＋３−４＋５６＋７×８−９
−１−２＋３×４＋５＋６＋７＋８×９
−１−２＋３４＋５−６＋７８−９
−１−２＋３４−５−６＋７＋８×９
−１−２＋３４×５−６７＋８−９
−１−２−３＋４×５＋６＋７＋８×９
−１−２−３−４＋５×６＋７＋８×９
−１−２−３−４−５＋６×７＋８×９
−１−２−３４＋５＋６×７＋８９
−１−２３＋４＋５＋６×７＋８×９
−１−２３４＋５×６７＋８−９
−１×２＋３＋４５＋６＋７×８−９
−１×２＋３×４＋５＋６７＋８＋９
−１×２＋３×４×５＋６×７＋８−９
−１×２＋３×４×５−６＋７×８−９
−１×２−３＋４×５＋６７＋８＋９
−１×２−３＋４×５６÷７＋８×９
−１×２−３＋４５＋６×７＋８＋９
−１×２−３＋４５−６＋７×８＋９
−１×２−３＋４５−６−７＋８×９
−１×２−３４＋５６＋７＋８×９
−１×２×３＋４×５＋６＋７＋８×９
−１×２×３−４＋５×６＋７＋８×９
−１×２×３−４−５＋６×７＋８×９
−１×２３＋４×５＋６＋７＋８９
−１×２３−４＋５×６＋７＋８９
−１×２３−４−５＋６×７＋８９
−１÷２×３×４５×６＋７×８×９
−１÷２÷３＋４−５÷６＋７＋８９
−１２＋３＋４×５＋６−７＋８９
−１２＋３＋４５−６＋７８−９
−１２＋３−４＋５×６−７＋８９
−１２＋３×４＋５×６＋７８−９
−１２＋３÷４×５６＋７８−９
−１２＋３４＋５×６＋７×８−９
−１２＋３４×５＋６＋７−８×９
−１２＋３４×５＋６−７×８−９
−１２＋３４×５−６×７−８−９
−１２−３＋４×５×６−７−８＋９
−１２−３＋４×５×６×７÷８＋９
−１２×３＋４５−６＋７＋８９
−１２×３４５÷６＋７８９
−１２÷３＋４＋５×６＋７８−９
−１２÷３−４＋５＋６＋７＋８９
ちょっと考えてみると、作る数が大きな数になると作るのが難しくなってくることは予想されます。例えば123456789以上の数は絶対に作れません。1000と999で、これを確かめてみましょう。もし、自分で解くのが好きな人は下を読まないで、自分で探してみましょう。
999(2通りしかありません)
１＋２＋３４×５×６−７−８−９
１÷２×３４×５６＋７×８−９
1000(1通りしかありません)
−１２＋３４×５×６−７＋８−９
その他、広い意味で小町算といわれるものをあげておきます。
286794×5103=479682×3051=1463509782
9/12+5/34+7/68=1
1/38=0.0263157894…
√1362=36.90528417…
69^2=4761 69^3=328509
18^3=5832 18^4=104976