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four fours
決められた数を使っていろいろな数を作るパズルで最も有名なのが、この「four fours(４つの４)」でしょう。これは次のような問題です。
「４個の４と適当な演算記号を使って、なるべくたくさんの自然数を表しなさい」
一般にはなるべく単純なほどよく、使用しても良いのは、＋，−，×，÷，()，普C小数点，循環小数(0.444…を「.4」の4の上に点をつけて表します…HTMLでは書けないので、「.4'」と表記します)のみとされることが多いようです。
では実際例を
０＝４４−４４
１＝４４÷４４
２＝４÷４＋４÷４
３＝(４＋４＋４)÷４
４＝(４−４)×４＋４
５＝(４×４＋４)÷４
６＝(４＋４)÷４＋４
７＝４４÷４−４
８＝４＋４＋４−４
９＝４＋４＋(４÷４)
１０＝(４４−４)÷４
１１＝４÷．４＋(４÷４)
１２＝(４４＋４)÷４
１３＝(４−．４)÷．４＋４
１４＝４＋４＋４＋浮S
１５＝４４÷４＋４
１６＝４＋４＋４＋４
１７＝４×４＋４÷４
１８＝４÷．４＋４＋４
１９＝(４＋４−．４)÷４
２０＝(４÷４＋４)×４
・・・
こんな感じです。興味のある方は続きをやってみてください。
この「４つの４」の類題として、「４つのＮ」があります。以下にそれを紹介しましょう。
４つの１
１＝１×１×１×１
２＝１＋１＋１−１
３＝１＋１＋１×１
４＝１＋１＋１＋１
５＝１×１÷(．１＋．１)
６＝１÷(．１＋．１)＋１
７＝(１＋１＋１)！＋１
８＝１÷．１−１−１
９＝１１−１−１
１０＝１１−１×１
１１＝１１＋１−１
１２＝１１＋１×１
１３＝１１＋１＋１
１４＝１１＋１÷普D１'
１５＝１÷(．１＋．１)÷普D１'
１６＝(１÷普D１')！＋１÷．１
１７＝(１＋１)÷．１'−１
１８＝(１＋１)×１÷．１'
１９＝(１＋１)÷．１−１
２０＝(１＋１)÷．１×１
・・・
どうしようもなくて「！(階乗)」を使ってしまいました。もっとうまい表しかたがあるか考えて見てください。
４つの２
１＝２÷２−２＋２
２＝２÷２＋２÷２
３＝２＋２−２÷２
４＝２＋２＋２−２
５＝２＋２＋２÷２
６＝２×２×２−２
７＝２÷(．２＋．２)＋２
８＝２＋２＋２＋２
９＝２２÷２−２
１０＝２×２×２＋２
１１＝２÷．２＋２÷２
１２＝(２＋２＋２)×２
１３＝２２÷２＋２
１４＝２÷．２＋２＋２
１５＝(２＋２÷２)÷．２
１６＝２×２×２×２
１７＝(２＋２−．２')÷．２'
１８＝２２−２−２
１９＝(２＋２−．２)÷．２
２０＝２÷．２＋２÷．２
・・・
４つの３
１＝３３÷３３
２＝３÷３＋３÷３
３＝(３＋３＋３)÷３
４＝(３×３＋３)÷３
５＝(３＋３)÷３＋３
６＝３＋３＋３−３
７＝３＋３＋３÷３
８＝３×３−３÷３
９＝３×３＋３−３
１０＝３×３＋３÷３
１１＝３÷．３＋３÷３
１２＝３＋３＋３＋３
１３＝３÷３＋３！＋３！
１４＝３３÷３＋３
１５＝３×３÷(．３＋．３)
１６＝３÷．３＋３＋３
１７＝３！×３−３÷３
１８＝３×３＋３×３
１９＝３÷．３＋３×３
２０＝３÷．３＋３÷．３
・・・
４つの５
１＝５５÷５５
２＝５÷５＋５÷５
３＝(５＋５＋５)÷５
４＝(５×５−５)÷５
５＝(５−５)×５＋５
６＝(５×５＋５)÷５
７＝(５＋５)÷５＋５
８＝(５−５÷５)÷．５
９＝５＋５−５÷５
１０＝５＋５＋５−５
１１＝５＋５＋５÷５
１２＝(５＋５÷５)÷．５
１３＝５÷．５＋√(５÷．５')
１４＝(５−．５)÷．５＋５
１５＝(５＋５)÷．５−５
１６＝５５÷５＋５
１７＝(５＋５−．５')÷．５'
１８＝５÷．５'＋５÷．５'
１９＝(５＋５−．５)÷．５
２０＝５÷．５＋５÷．５
・・・
４つの６
１＝６６÷６６
２＝６÷６＋６÷６
３＝(６＋６＋６)÷６
４＝６−(６＋６)÷６
５＝(６×６−６)÷６
６＝(６−６)×６＋６
７＝(６×６＋６)÷６
８＝(６＋６)÷６＋６
９＝６÷．６−６÷６
１０＝(６６−６)÷６
１１＝６÷．６＋６÷６
１２＝６＋６＋６−６
１３＝６÷．６＋√(６÷．６')
１４＝(６＋６)÷．６−６
１５＝(６−．６)÷６＋６
１６＝(６×．６＋６)÷．６
１７＝６６÷６＋６
１８＝６÷．６'＋６÷．６'
１９＝(６＋６−．６)÷６
２０＝６÷．６＋６÷．６
・・・
４つの７
１＝７７÷７７
２＝７÷７＋７÷７
３＝(７＋７＋７)÷７
４＝７７÷７−７
５＝７−(７＋７)÷７
６＝(７×７−７)÷７
７＝(７−７)×７＋７
８＝(７×７＋７)÷７
９＝(７＋７)÷７＋７
１０＝(７７−７)÷７
１１＝７÷．７＋７÷７
１２＝(７７＋７)÷７
１３＝７＋７−７÷７
１４＝７＋７＋７−７
１５＝７＋７＋７÷７
１６＝(７−．７)÷．７＋７
１７＝(７＋７×．７)÷．７
１８＝７７÷７＋７
１９＝(７＋７−．７)÷．７
２０＝７÷．７＋７÷．７
・・・
４つの８
１＝８８÷８８
２＝８÷８＋８÷８
３＝(８＋８＋８)÷８
４＝８×８÷(８＋８)
５＝√(８＋８)＋８÷８
６＝８−(８＋８)÷８
７＝(８×８−８)÷８
８＝(８−８)×８＋８
９＝(８×８＋８)÷８
１０＝(８８−８)÷８
１１＝８÷．８＋８÷８
１２＝(８８＋８)÷８
１３＝８＋８÷(．８＋．８)
１４＝８＋(√８＋√８)÷√．８'
１５＝８＋８−８÷８
１６＝８＋８＋８−８
１７＝８＋８＋８÷８
１８＝８÷．８'＋８÷．８'
１９＝８８÷８＋８
２０＝８÷．８＋８÷．８
・・・
１４が辛かった…。もっとうまい方法があるか考えてみてください。
４つの９
１＝９９÷９９
２＝９÷９＋９÷９
３＝(９＋９＋９)÷９
４＝(√９×√９＋√９)÷√９
５＝(９＋９)÷９＋√９
６＝(９＋９)×√９÷９
７＝９−(９＋９)÷９
８＝(９×９−９)÷９
９＝(９−９)×９＋９
１０＝(９９−９)÷９
１１＝９＋(９＋９)÷９
１２＝(９９＋９)÷９
１３＝９＋√９＋９÷９
１４＝９９÷９＋√９
１５＝√９×９÷(．９＋．９)
１６＝９÷．９＋９−√９
１７＝９＋９−９÷９
１８＝９＋９＋９−９
１９＝９＋９＋９÷９
２０＝９９÷９＋９
・・・
four foursの一般式？
この問題はさらにいろいろに拡張できます。よくあるのは数字の個数を変えるもの(「３つの２」、「５つの５」)や、任意の四つの数字で決まった数を作る注1)等です。
ところがこの「３つの２」に対して「巧妙な(ずるい？)」方法を見つけた人がいます。それは次のようなものです。
-log_2(log_2(√√…2)) = n (√はn個) (1)
この式で、任意の自然数を表すことが可能であることを確かめてください。これを見つけたのは物理学者のディラックだそうです。すごいですね。ところがこれをちょっと変形すると「４つの４」も解けてしまう(logの使用が許されればですが…)ことが分かります。(1)を参考に４を使う事を考ええてみると、
-log_4(log_4(√√…4)) = n (√は2n個) (2)
というのはすぐに見つかるでしょう。というわけで、
-log_4(log_4(√√…4))-4 = n (√は2(n+4)個) (3)
とすれば良いわけです。
注1)
任意の四つの数字で決まった数を作る
作る数字は10と24が有名です。自動車のナンバーや電話番号等が暇つぶしには良いかもしれません。例として、＋，−，×，÷，()だけを使って次の問題をやって見てください。数字の順序は問いません。
１，１，９，９で１０
３，３，７，７で２４
４，４，７，７で２４
３，３，８，８で２４
答
(１＋１÷９)×９＝１０
７×(３＋３÷７)＝２４
７×(４−４÷７)＝２４
８÷(３−８÷３)＝２４